Numeri irrazionali e ontologia del negativo:
Imre Toth

Nel raccontare nella autobiografia , Matematica ed emozioni ( Di Renzo editore ) , gli avvenimenti che hanno caratterizzato la propria giovinezza , Toth introduce il tema della libertà : "nella vita , ogni essere umano deve scegliere il proprio daìmon, ossia il proprio stile di vita "; infatti come dice Platone, in La Repubblica, «Quando qualcosa non va, gli dèi non hanno colpa: sei tu che hai scelto il tuo daimòn»: questa è la scelta che rende unica ogni vita e ne esprime l’essenza. La libertà, secondo Toth, è anche l’essenza della matematica, definita come un «un événement de l’esprit, immerso nel quadro etico-politico della presa di coscienza della libertà». «La matematica appartiene a questo spirito e lo sviluppo della matematica non è che un movimento proprio dello spirito». . Toth afferma dunque che la matematica attinge alla dimensione della libertà umana , che crea mondi diversi ed opposti ( quali, per esempio,il mondo euclideo e quello non-euclideo). «La matematica è l’espressione di una libertà umana che si manifesta nella creazione di mondi, che è una prerogativa divina, e questa creazione è veicolata da un atto di cui solo l’essere umano è capace: la negazione», ossia il dire di no ad un codice già affermato, per avviarne liberamente un altro.
Ci troviamo quindi dinnanzi ad una concezione del sapere matematico problematizzato e esteso a dimensione dello Spirito, caratterizzato, nella sua essenza dalla libera creatività .
Dice Imre Toth "ogni progresso del pensiero matematico si è effettuato in contraddizione diretta e manifesta con le leggi formali della logica inferenziale. Ovvero il Lògos, che governa il movimento del pensiero matematico, non si lascia ridurre alle leggi della logica" (IRIDE, 43, anno XVII, dicembre 2004, "Deus fons veritatis": il soggetto e la sua libertà. Il fondamento ontico della verità matematica. Intervista biografico-teorica di G. Polizzi). Ciò è particolarmente evidente per quanto concerne il problema dei numeri irrazionali, percepiti come inquietanti non solo dai Pitagorici.
Leibniz afferma che i numeri immaginari sono "anfibi mostruosi tra l’essere e il non-essere", ma insieme sono utili; Carnot scrive che i numeri immaginari sono" inintelleggibili per la loro essenza e di un’evidente assurdità, un labirinto di paradossi uno più bizzarro dell’altro;sono abominevoli non-essere;"( Riflessioni sulla metafisica del calcolo infinitesimale): dunque è incompatibile con lo status della scienza parlare dei numeri immaginari.
Berkeley scrive: "Il mistero dei matematici! Lo spirito dei matematici trabocca di demenza!" ( The Analyst). Secondo questo autore i matematici rimproverano ai teologi i loro discorsi sui misteri, ma la matematica è più misteriosa della Trinità; il Sacramento dell’Eucarestia è nulla rispetto alle assurdità della matematica, che dice di fondarsi sul lògos e poi afferma l’esistenza dell’alògos.
In realtà il problema dei numeri irrazionali, fin dall’inizio della storia della matematica ha evidenziato che la matematica non è solo razionalità anche se, storicamente, fin dall’antichità si è venuto delineando una canone matematico di tipo razionalistico, che ha teso a sommergere, comprimere idee matematiche estranee a quel canone, compromettendo anche la creatività degli scienziati.
Ma , secondo Imre Toth , alla luce delle più recenti acquisizioni della matematica sul calcolo infinitesimale ed in particolare a quelle contemporanee, relative alla geometria non euclidea, si possono scoprire nella matematica greca, profondità dimenticate e rimosse a causa di una certa visione della matematica.
Imre Toth ha cercato di ricostruire questa storia, identificando ed analizzando i passi non-euclidei presenti in Platone ed Aristotele, e in altri matematici del Settecento e dell’Ottocento , che hanno proposto testi molto vicini alla geometria non- euclidea di Lobatschewskij e Bolyai.
Aristotele nel De coelo, ammette come ipotesi che è impossibile che un triangolo abbia i 3 angoli pari a 2 angoli retti, che è come dire che sono possibili triangoli sono non euclidei e aggiunge: " se le cose stanno così allora anche la diagonale del quadrato sarà commensurabile" .
Inoltre nell’Etica Eudemia Aristotele indica la decisione sulla scelta tra assiomi euclidei ( il triangolo euclideo) e non euclidei ( il triangolo non-euclideo) come esempio di un libero atto di scelta tra due poli , laddove il ragionamento logico non può dare indicazioni orientative: l’Ethos è sopra il Logos, la libertà del soggetto, secondo Toth è il fondamento dell’essere matematico e così sarà anche per Cartesio che sosterrà che il teorema euclideo , il quale afferma che la somma degli angoli interni di un triangolo equivale a due angoli retti, è così solo perchè la libertà di Dio l’ha voluto così , non perchè sia più vero dell’ipotesi contraria. ( Mèditations mètaphysiques). Ed ancora Aristotele dice che "proveremmo lo stesso piacere se la somma deglia angoli interni di un triangolo fosse uguale a due angoli retti, ma anche se non lo fosse": la scelta infatti non dipende da motivazioni logiche ma dall’ esercizio della libertà del soggetto : come dice Cantor " L’essenza della matematica sta nella sua libertà"
Relativamente al problema dalla diagonale del quadrato, che fece emergere il tema dei numeri irrazionali, i Pitagorici avevano già sviluppato, un procedimento ricorsivo, che Proclo chiama il teorema elegante dei Pitagorici, il quale prevede prevede una successione infinita di valori razionali ( Lògoi) che esprimono gli uni per eccesso e gli altri per difetto, la misura di segmenti più piccoli e più grande della diagonale del quadrato. E’ un procedimento che attualmente si chiama "l’algoritmo di Euclide" e che Aristotele chiamava antanaìresis. Nella Repubblica, Platone parla di una successione decrescente e crescente di numeri infiniti, i quali convergono l’uno verso l’altro, ma non esiste un Lògos che possa separarli. Esiste invece quella che Platone chiama una diagonale ineffabile poichè tra le due successioni non vi è alcun termine aritmentico effabile, alcuna misura misurabile (Zenone , nel suo argomento relativo ad Achille e la tartaruga aveva già ammesso che il limite nel quale i due si incontrerebbero non esiste) ; non esiste il numero irrazionale √2, cioè la diagonale del quadrato HA una grandezza ben definita MA essa non ha tuttavia lunghezza ed il numero √2 appartiene al dominio del non-essere ; il simbolo metalinguistico√2 è dunque il nome di un numero che non esiste. Esso tuttavia dice Platone ha una sua natura e ha delle proprietà che il soggetto conosce (√2. √2=2), ma non è un Logos, bensì un Alògos: Platone apre le porte all’ontologia negativa dell’irrazionale e cioè alla costruzione, che avverrà solo in epoca moderna , di una matematica infinitesimale e che nello stesso tempo porterà Dedekind a dire che il numero irrazionale è una pura creazione dello spirito umano.
Toth dice che " il passaggio dal non-essere all’essere è il mito del peccato originale del pensiero matematico specificamente occidentale"( (IRIDE, 43, anno XVII, dicembre 2004, "Deus fons veritatis": il soggetto e la sua libertà. Il fondamento ontico della verità matematica. Intervista biografico-teorica di G. Polizzi): paradossi come quello di Zenone esistono infatti anche nella cultura cinese, ma sono sempre restati solo giochi di società, in quanto la cultura orientale non ha avuto sensibilità per la dimensione metafisica del pensiero matematico.

Toth afferma anche che la matematica e l’arte hanno strutture ontologiche simili: la matematica può porre, definire sia un tetraedro, che esiste in realtà, sia un pentatopo, la figura più semplice entro uno spazio quadrimensionale: noi ne abbiamo esatta conoscenza come quella del tetraedro, ma esso ,come gli altri 5 solidi regolari dello spazio quadrimensionale, sono corpi che non esistono, sono dei non-esseri. Ora il cubo a 4 dimensioni è non-essere esattamente come lo è Emma Bovary: ne abbiamo conoscenza precisa e certa, ma essa non esiste. "Mi sono reso conto che, da questo punto di vista, la matematica si può comparare piuttosto all’arte, perché ci sono solo due forme di sapere esatte: gli Elementi di Euclide e Madame Bovary di Flaubert. Sembrerebbe una boutade, ma non lo è".
Come è scritto nel Parmenide di Platone: " Ciò che si chiama il non-essere è non di meno oggetto di conoscenza esattamente come l’essere", anzi aggiunge Toth: " unicamente il non-essere è conoscibile con esattezza assoluta".
"Madame Bovary è esattamente come l’ha descritta Flaubert nel suo libro e non altrimenti", scrive Toth, "quella è Madame Bovary, e nessuno può introdurre nel libro alcuna variazione: non possiamo scrivere che il 13 maggio del 1830 Madame Bovary portava un rubino al collo. Non lo possiamo fare e non possiamo negare qualcosa che è scritto nel testo di Madame Bovary. Perché non possiamo farlo? Perché l’autore ha descritto in modo perfetto il suo personaggio: l’ha creato lui. La stessa cosa avviene con la matematica. Similmente, esiste una scienza, la più vecchia di tutte, l’unica scienza esatta, che ha la stessa struttura ontologica di un romanzo, con la differenza, nel contenuto, che Madame Bovary tratta di sentimenti umani e la matematica no".

Prof.ssa Renata MERLO