GUIDA allo studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Stabilire se la funzione presenta delle simmetrie e/o è periodica.

» Se è simmetrica rispetto allasse y, deve verificarsi:
. (funzione pari)
» Se è simmetrica rispetto allorigine degli assi, deve verificarsi:
. (funzione dispari)
Nel caso in cui la funzione sia simmetrica, si può restringere lo studio della funzione ai soli valori positivi e dunque costruire il grafico nel solo semipiano ; per ottenere il grafico completo basterà simmetrizzare la curva ottenuta rispetto allasse y o allOrigine.
» Se è periodica, si può limitare lo studio allampiezza del periodo.

Determinare il Campo di Esistenza, o Dominio, della funzione.
(Si tratta di individuare gli intervalli in cui la funzione assume valori Reali; ovvero determinare linsieme dei punti in cui la funzione non è definita ed escluderli).

Classifica il tipo di funzione:

» se è una funzione razionale intera il suo dominio è costituito da tutto lasse Reale
» se la funzione è una razionale fratta, imponi che il denominatore sia diverso da zero.
I punti che annullano il denominatore della funzione non appartengono al suo CDE, per tali punti la funzione non esiste; le rette verticali passanti per quei punti sono asintoti verticali per la curva;
» se la funzione è irrazionale, guarda lindice del radicale:
» se è pari dovrai imporre che il radicando non sia negativo poiché la funzione è a valori Reali,
» se è dispari, non ci sono imposizioni.
» Se la funzione è logaritmica ricordati di imporre che largomento del logaritmo sia strettamente positivo.
» Se la funzione è esponenziale non ci sono imposizioni.
» Se la funzione è trigonometrica bisognerà imporre che gli argomenti della funzione tangente siano diversi da multipli dispari di angoli retti .
» Quando la funzione è composta da funzioni di tipo diverso tutte le imposizioni dovranno essere verificate contemporaneamente, ovvero le condizioni dovranno essere legate e condotte algebricamente come un sistema di equazioni.

Scrivi il dominio come UNIONE dei diversi intervalli in cui la funzione assume valori Reali.

Segna graficamente gli intervalli o i punti in cui la funzione non esiste.

Studiare con i limiti il comportamento della funzione agli estremi del CDE.

Calcola i limiti, sinistro e destro, della funzione nellintorno dei punti
......
e allinfinito
......
Riporta con un segno grafico il comportamento della curva nellintorno di tali punti.

Ricerca degli eventuali asintoti verticali e orizzontali

Calcola i limiti:

» Se ,
allora è un asintoto verticale.

» Se (finito) ,
allora è un asintoto orizzontale

Ricercare leventuale intersezione della funzione con lasse x

Poni a sistema lequazione della curva con lequazione dellasse delle ascisse:

ovvero risolvi lequazione .

Ricercare leventuale intersezione della funzione con lasse y

Poni a sistema lequazione della curva con lequazione dellasse delle ordinate:

ovvero calcola .

Studiare il segno della funzione

Studia la disequazione .
Negli intervalli in cui la funzione risulta positiva, la curva sarà situata sopra lasse delle ascisse.
Riporta i risultati sul grafico, escludendo le zone che la curva non attraversa.

Calcolo delle derivate prima e seconda.
Il calcolo della derivata prima serve per determinare gli intervalli in cui la funzione cresce o descresce, e per individuare i probabili punti di massimo e minimo relativi.
Il calcolo della derivata seconda serve per determinare gli intervalli in cui la curva è concava o convessa, e per individuare i probabili punti di flesso.

= ..............

= ..............

Ricerca degli eventuali punti di massimo e di minimo relativo.

C.N. affinché un punto sia di massimo o di minimo relativo è che = 0.
Dunque si tratta di risolvere tale equazione. I valori che la soddisfano sono solo probabili punti di massimo o minimo relativi, in quanto potrebbero anche essere punti di flesso.
I punti in cui si annulla la derivata prima si dicono punti stazionari o punti critici.

Studio della monotonia della funzione

Per sapere se questi sono punti di massimo o di minimo per la curva si può procedere in due modi.

1° metodo: si studia il segno della derivata prima, ovvero si impone che .
Lo studio degli intervalli di monotonia, cioè dove la curva è crescente o decrescente, ci fa comprendere se i punti trovati sono di massimo o di minimo.
Se la derivata nellintorno di tali punti non cambia di segno, questi non sono né di massimo né di minimo.

2° metodo: si sostituiscono le ascisse dei punti nella derivata seconda e si guarda il segno che questa assume.

: se è positiva, la concavità sarà rivolta verso lalto perciò il punto è di minimo;
: se è negativa, la concavità sarà rivolta verso il basso per cui il punto è un massimo.
: se è nulla, il punto è molto probabilmente un flesso.

Calcolo delle ordinate degli eventuali punti di massimo e di minimo relativo

Sostituisci una alla volta le ascisse dei punti di massimo o di minimo nellequazione della curva e ricava lordinata.

Riporta con un segno i risultati sul grafico.

Studio dei punti di non derivabiltà

Determina il Campo di Esistenza della derivata prima .
Se è un punto appartenente al CDE della funzione, ma è un punto di non derivabilità:

» se e con ,
allora è un punto angoloso;
» se e ,
allora è una cuspide
» se ,
allora è un flesso a tangente verticale.

Ricerca degli eventuali punti di flesso a tangente orizzontale

Imponi e risolvi.
I valori che soddisfano lequazione sono molto probabilmente le ascisse dei punti di flesso.

Studio della concavità e della convessità della funzione

convessa

concava

Studia il segno della derivata seconda: > 0.
Negli intervalli in cui risulta positiva (> 0), la curva rivolge la concavità verso l'alto (convessa), in caso contrario (< 0) la concavità si volge verso il basso (concava).
Le soluzioni di sono le ascisse dei punti in cui la curva cambia la sua concavità, i punti di flesso, e la tangente si dispone orizzontalmente.

Calcolo delle ordinate degli eventuali punti di flesso

Sostituisci una alla volta le ascisse dei punti di flesso nellequazione della curva e ricava l'ordinata corrispondente.

Riporta con un segno i risultati sul grafico.

Ricerca degli eventuali asintoti obliqui

Se , allora si calcolano i due limiti :
che fornisce il coefficiente angolare m della retta, e
che fornisce il valore del termine noto q della retta.
Se questi due limiti esistono e sono finiti, allora la retta è un asintoto della curva.

A questo punto dovresti avere elementi sufficienti per comporre qualitativamente landamento della curva.